Den här texten är lite av ett experiment och säkert i behov av en hel del förbättringar. Vill gärna ha förslag till hur den kan göras mer rätt och begriplig.

Den missnöjda elevens guide till skolmatematiken

Många barn och ungdomar har svårt att se poängen med den matematikundervisning de tvingas ta del av. När de säger detta till sina lärare och föräldrar möts de av argument för varför denna matematikundervisning trots allt är nödvändig och bra.

I diskussionen som uppstår är det svårt för eleven att göra sin ståndpunkt gällande. Situationen är maximalt assymetrisk. Läraren har en statlig propagandaapparat understödd av ett helt forskningsfält i ryggen. Eleven har knappast något mer än sin egen erfarenhet av att något är fel.

Med den här texten vill jag bidra till att jämna ut den här obalansen. Texten innehåller en mängd förslag till hur man kan tänka kring skolmatematiken. Förhoppningsvis gör dom det lättare att förstå vad det är man är med om när man sitter där i klassrummet och räknar.

En fråga som kommit upp när jag pratat med människor om den här texten är att det är fel att, så att säga utsätta elever för en så här hård kritik av skolmatematiken. Det jag påstår är att skolmatematiken faktiskt är så trist och meningslös som den verkar. Det man sagt till mig är att detta är något man inte borde få reda på som elev, för då skulle man bli – jag vet inte vad: apatisk kanske, deprimerad. Och man behöver ju faktiskt bra betyg i matematik. Så det man behöver är därför mycket mer peppning än en sådan här kritisk sågning av skolmatematiken.

Vad skall man svara på det? Jag tänker så här. I skolsammanhang pratar man ibland om bildning. Vad är det att vara bildad? Ja, man kan mena många olika saker med det, men en sak man menar är att man skall kunna reflektera. Kanske kan man också säga så här: man skall vara öppen för att kunna ändra ståndpunkt. Man skall låta sig utmanas av argument. Man skall veta saker om vad som hänt förr i tiden och kunna förstå sin samtid i ljuset av detta. Man skall vara intresserad av vad som är rätt och sant. En känd filosof som hette Immanuel Kant pratade på 1700-talet om ”mod att tänka själv”.

Det är det jag är ute efter. Jag kan inte förstå hur det skulle kunna vara skadligt.

Skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium

Låt mig börja med att definiera vad skolmatematik är för något.

Mitt förslag till startpunkt är att skolmatematiken är ett tidskrävande obligatorium. För det första, att skolmatematiken bygger på tvång. Alla är tvingade att ta del av dem. För det andra, att den inte är något man tar sig an en eftermiddag för att sedan lägga bakom sig. Nej, skolmatematiken kräver i storleksordningen ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang.

En viktig sak med denna definition är att den kopplar isär argument för ”matematikens nytta” från argument för ”skolmatematikens nytta”. Många argument för varför skolmatematiken är viktig handlar egentligen om att matematiken är viktig. Om man definierar skolmatematiken som ett tidskrävande obligatorium, som något som har med tvång och tid att göra, så blir denna sorts argument ganska irrelevanta. Det spelar helt enkelt ingen roll för diskussionen kring skolmatematik om matematiken är viktig för teoretisk fysik eller månresor, så länge man inte också kan visa att det tidskrävande obligatoriet har någonting med denna matematikanvändning att göra.

På ett liknande sätt är det med argument som har att göra med vardaglig användning av matematik. Exempel som ibland kommer upp när man pratar om skolmatematikens nödvändighet är att man ”behöver kunna matematik” när man skall ändra i recept eller räkna ut hur mycket färg eller tapet man skall köpa när man skall renovera.

Genom att fokusera på skolmatematiken som tidskrävande obligatorium, måste den som försvarar skolmatematiken visa sambandet mellan skolmatematiken och förmågan att ändra recept på rätt sätt och att köpa lagom mycket tapet. Att påvisa något sådant samband är betydligt svårare än att säga att man ”behöver matematik” i en mängd olika sammanhang.

Faktum är att det inte finns några belägg, vetenskapliga eller andra, för något sådant samband. De undersökningar som gjorts pekar snarare på att det inte finns något samband. Bagare och målare utmärks inte av sina särskilt goda resultat i skolan. De som varit duktiga på matte i skolan är inte särskilt duktiga varken på att ändra recept eller köpa lagom mycket tapet.

Något helt annat är att det ju kan verka som om det fanns ett samband, man kan tro det, precis som man kan tro på Gud eller tomten. Mer längre än till tro kommer man inte på den punkten.

Skolmatematiken är en institutionaliserad praktik

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet praktik för att tala om sådant som människor gör. Sätter man institutionaliserad framför, så det blir institutionaliserad praktik, så menar man en praktik som är stabil över tid och rum, det vill säga något som människor gör på ungefär samma sätt på många olika platser, och på ungefär samma sätt för säg tio år sedan som idag. Skolmatematiken är en sådan institutionaliserad praktik. Den är tidskrävande, obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik.

De som försvarar skolmatematiken försöker ofta att blanda bort korten att börja tala om matematiken istället för skolmatematiken. De talar om hur stor roll den spelar, hur användbar den är, hur viktigt det är med kunskaper i matematik. När man möter denna retoriska strategi skall man föra tillbaka samtalet till det som händer i skolan och fråga efter sambandet mellan den skolmatematiska praktiken och allt det fantastiska som hänger ihop med matematiken. Fråga till exempel hur ditt deltagande i en tråkig och till synes meningslös matematiklektion leder dig till detta goda som matematiken har att erbjuda. Fråga efter belägg för att detta är den bästa vägen till målet.

Det är viktigt att komma ihåg att ett ifrågasättande av skolmatematiken inte är samma sak som att ifrågasätta vetenskapen eller att vara teknikfientlig. Den strategi som jag skall föreslå i den här texten är tvärtom att isolera det som utgör skolmatematikens särdrag, att visa att det tidskrävande obligatoriet faktiskt inte har särskilt mycket med varken teknik eller vetenskap att göra.

Artikulering av skolmatematikens doxa

Vi har nu avgränsat skolmatematiken som ett tidskrävande och obligatoriskt deltagande i en institutionaliserad praktik. Istället för att fokusera på vad denna praktik ”innehåller” – vad man som elev ofta gör – brukar de som försvarar skolmatematiken hellre tala om hur viktigt det är med matematik. Man tänker sig att matematiken är på ett visst sätt och därför måste skolmatematiken finnas och vara på ett visst sätt. Men det sägs sällan rakt ut: så här tänker vi och därför gör vi så och så.

Inom samhällsvetenskapen använder man ordet doxa för att tala om sådana outtalade idéer. Doxa är det som inte behöver sägas, det som alla är överens om, det som är ”uppenbart”. Det vill säga, det som är uppenbart för alla som delar doxan. Till exempel är det ”uppenbart” att alla måste gå i skolan för att lära sig matematik.

När det gäller skolmatematiken kan man säga att det är doxa som får den att framstå som självklar, oundviklig och nödvändig. Anledningen till att skolmatematiken är så svår att kritisera är att denna doxa ofta delas även av de som är kritiska!

Vad vi måste göra är därför att synliggöra vari doxan består, för att sedan kunna visa att den inte är uppenbar och sann på det sätt som den verkar vara. Man kan tala om detta synliggörande som att artikulera, uttala, sätta ord på, doxan. Jag skall försöka sätta ord på vad nästan alla som försvarar skolmatematiken utgår från utan att säga det.

Det är rent allmänt lurigt att sätta ord på något som alla är överens om. Det som ofta händer är nämligen att de som är överens inte känner igen sig i de ord man använder. Och det finns inte ett enda ”rätt” sätt att artikulera doxa. Tvärtom är det snarare så att det är väldigt oklart vad människor egentligen tror på och utgår från, just eftersom att de tar detta något så mycket för givet att de inte funderat så mycket på det. Reaktionen inför frågorna: Är det det här du tror på? Är det på grund av detta som du gör som du gör? blir ofta: nejnej, så är det inte.

Detta skall man ha i bakhuvudet är man försöker artikulera någon annans outtalade utgångspunkter. Man skall inte tro att man får medhåll bara för att man har rätt.

Det som talar till din fördel när du försöker artikulera skolmatematikens doxa är att matematiken (enligt denna doxa själv!) så tydligt hänger ihop med förnuft och rationalitet. De som försvarar skolmatematiken är mer eller mindre tvungna att underkasta sig det förnuftiga samtalets regler. Om de inte gör det, har det ju så att säga motbevisat sig själva. De vill, med största sannolikhet, kunna ange goda skäl till varför de står upp till skolmatematikens försvar.

Det allra enklaste argumentet för skolmatematiken är kanske att ”alla behöver kunna matematik”. Vår definition av skolmatematiken som tidskrävande obligatorium gör att detta argument inte längre duger. För vad är det som säger att man inte kunde lära sig det man behöver kunna på ett annat sätt och långt snabbare? Min poäng är att ett försvar för skolmatematiken måste ta sig an den skolmatematiska praktikens särart.

Skolmatematiken är extremt standardiserad. Alla elever skall göra ungefär samma sak. Det är detta görande som måste försvaras. Och en viktig del av detta är att skolmatematiken tar så enormt lång tid i anspråk. Försvaret måste ta sig an att alla måste göra detta, skolmatematik, så väldigt länge. Det som måste försvaras är idén att alla måste göra samma sak under väldigt lång tid.

Doxa säger att alla måste göra just detta precis så här länge, för att sedan ”kunna matematik”. Det är ”uppenbart”. Varför är det uppenbart?

Med risk, som sagt, för många skall känna sig lite främmande för det jag skriver, skall jag nu försöka artikulera den skolmatematiska doxan dels när det gäller hur man lär sig matematik, dels när det gäller vad det innebär att ha kunskaper i matematik.

Hur man lär sig matematik

När det gäller hur man lär sig matematik är en viktig ”uppgift” för doxan att få det att framstå som självklart att det tar lång tid att lära sig matematik. Genom att titta på hur skolmatematiken är organiserad är det ganska lätt att utveckla detta lite.

”Uppenbarligen” (enligt doxa) är matematiken också något som man bör börja lära sig redan som barn. Det sägs ibland att man inte kan börja nog tidigt.

En annan sak är att det behövs särskilt utbildade lärare för att få lärandet att äga rum. Det finns till exempel ett helt forskningsfält, matematikdidaktiken, som utforskar hur man (enligt skolmatematikens doxa) lär sig matematik.

Den slutsats man kan dra av detta är att detta med att lära sig matematik är något som inte bara tar lång tid, det är något komplicerat som bara sker under speciella omständigheter. Man kan jämföra med att prata. Det lära sig alla utan att gå i skola. Det hör till skolmatematikens doxa att man inte får kunskaper i matematik utan skolmatematik.

Man kan också jämföra med hur man lär sig det man behöver kunna för att bli en duktig läkare. Det är ett bra exempel eftersom det ganska uppenbart både involverar ”teoretiskt” kunnande, att förstå hur en mängd olika komplicerade saker hänger ihop, och ett praktiskt hantverk. Medicin finns inte som ämne i skolan och ingen (?) tänker sig att man inte kan börja nog tidigt med ”medicinen”. Även om få skulle ifrågasätta att det är svårt att lära sig det som man måste kunna för att vara en duktig kirurg, tänker man inte på ett sådant sätt om denna svårighet att det motiverar ett tidskrävande obligatorium liknande skolmatematiken. – Men alla skall ju inte bli kirurger! Men alla skall ju inte heller bli matematiker!

Den svårighet som skolmatematikens försvarare hamnar i är att hon måste påstå att det är den vanliga, vardagliga matematikanvändningen som är så svår att lära sig att den kräver ett decennium av mer eller mindre dagligt engagemang. Är det verkligen så svårt att lära sig ändra recept? Eller att räkna ut arean på en vägg? Och de som kan detta, har de verkligen lärt sig det i skolan?

Ett annat argument för det tidskrävande obligatoriet är att skolmatematiken behövs som förberedelse för att de som vill sedan skall kunna gå vidare och bli ingenjörer och matematiker. Man säger att skolmatematiken behövs för att lägga en grund för alla. Och om inte alla hade fått en sådan grund, skulle inte någon kunna bli matematiker. Hur skall man tänka kring detta argument?

Ja, det finns ju många saker som är svåra, som bara några vuxna gör, till exempel att vara kirurg. Och det utbildar sig nya regelbundet nya kirurger, utan att ”medicin” (eller vad det skulle kallas) är ett obligatoriskt och tidskrävande ämne i skolan. Varför skulle inte detta vara möjligt även när det gäller matematiken?

Det är skolmatematikens doxa som gör dessa frågor möjliga och till och med enkla att besvara.

Skolmatematiken bygger på en föreställning om att det är något mycket speciellt att lära sig matematik. Att lära sig matematik skiljer sig från hur man lär sig andra saker. Och det skiljer sig på ett sådant sätt att matematik är något alla bör börja med tidigt, som alla bör ägna ett decennium åt i skolan, och så vidare.

Helt centralt för skolmatematiken är att kunskaper i matematik är något annat än fakta, något annat än saker som man lärt sig utantill, något annat än att följa regler, något annat än att ha lärt sig formler. Det här kan du gärna prova att fråga precis vem som helst som tar skolmatematiken i försvar. Om de säger att skolmatematik handlar om att lära sig fakta och formler utantill får de väldigt svårt att försvara det tidskrävande obligatoriet. De kommer också ha svårt att hitta meningsfränder.

Så hur lär man sig matematik egentligen, enligt skolmatematikens doxa? Jo, det sker genom en komplicerad process som involverar åskådning och självverksamhet. Detta är två ord som har en lång historia inom skolmatematiken, och de används kanske inte så mycket idag. Om man skall sätta ord på skolmatematikens doxa tycker jag ändå att de är de mest träffande.

Åskådning är viktigast för den del av skolmatematiken som involverar yngre barn. Tanken med åskådning är att man lär sig matematik genom att titta på och pyssla med föremål, snarare än att jobba med siffror och formler.

Självverksamhet innebär att man lär sig matematik genom att tänka själv snarare än att ta in information som man får presenterad för sig. Tanken är att man konstruerar, skapar, bildar, formar sin egen kunskap, och att man inte kan ”ta över” denna kunskap från någon annan. Man talar ibland om problembaserat lärande, det vill säga att man lär sig genom att lösa problem som man ställs inför. Oftast talar man om att bilda eller forma kunskaper, men ibland talar man också om att upptäcka matematiken.

Ordet självverksamhet kommer från det tyska ordet selbsttätigkeit. Det är ett gammalt tyskt ord som knappast används längre, åtminstone inte utanför sammanhang som har med skolan att göra. Vad ordet betyder har väldigt mycket att göra med ett antal filosofiska idéer som hittades på årtiondena kring 1800. Idén med självverksamhet är att man bara kan bli så som man bör vara genom att själv ha kontrollen över den process genom vilken man förändras. Man skall ”göra sig själv”. Man skall vara i en sorts verksamhet där man själv har kontrollen; verksamheten skall vara ”självstyrande” eller kanske ”självutvecklande”. Och vad bör man vara? Som Gud. Det låter väl helt främmande idag, men det var så man tänkte. Att lära sig matematik hängde ihop med att bli som Gud.

Så idén med självverksamhet är att man snarare än att ”skaffa sig” kunskaper, skall bli en sådan som ”kan matematik” och detta kan man bara bli genom att vilja bli det, man måste själv ha satt som mål att bli just detta. Man måste vara intresserad av att bli en sådan som kan matematik och sedan självverksamt sträva efter detta.

Båda dessa två grupper av idéer, de som hänger ihop med åskådning och de som hänger ihop med självverksamhet, får det tidskrävande obligatoriet att framstå som vettigt. I yngre åldrar ägnar man sig mycket åt åskådning, till exempel i så kallade matematikverstäder. Fokus förskjuts sedan allt mer mot självverksamhet i form av problemlösning.

Det är viktigt att se här, att denna praktik kan fungera som praktik, oavsett huruvida det sker något ”lärande” eller inte. Problemlösning, om man nu tar det som exempel, kan ta hur lång tid som helst. Problemen kan göras svårare och svårare och de kan alltid göras fler och fler. Hur lång tid det tar att ”lära sig” beror på hur svåra problem man kräver att eleverna skall kunna lösa vid skolgångens slut.

En konsekvens av dessa idéer om hur man lär sig matematik är att det måste ta tid. Enligt dessa idéer går det i princip inte att får ”riktiga” kunskaper i matematik som vuxen. Matematisk kunskapsbildning (som man ibland kallar det) är en process av utveckling (ett annat ofta använt ord) som inte kan ersättas med några korta veckors hårt pluggande.

Detta är märkligt eftersom människor bevisligen kan läsa in grund och gymnasieskolans matematikkurser på komvux – på betydligt kortare tid än om de gått den vanliga vägen. Har dessa vuxna inte riktiga matematiska kunskaper? Det är en bra fråga att ställa till skolmatematikens försvarare. Om ”Jo” – varför inte byta ut decenniet av barn och ungdomsundervisning mot en termins (eller vad det kan tänkas ta) vuxenundervisning? En ytterligare fördel med detta arrangemang är att de tilltänkta vuxna eleverna, eftersom de är vuxna, också kundes ges tillfälle att själva välja om, när och på vilket sätt de vill få sina kunskaper i matematik.

Vad det innebär att kunna matematik

Men vad innebär det då att kunna matematik?

Idéerna kring åskådning och självverksamhet, idén att vägen mot matematiska kunskaper är lång och komplicerad, hänger ihop med en idé om att det är något väldigt speciellt och värdefullt att kunna matematik.

Det mest centrala bland de outtalade föreställningar som hänger ihop med skolmatematikens mål, de matematiska kunskaperna, är att detta mål är dubbelt.

• Å ena sidan handlar målet om något praktiskt, om att kunna något, till exempel att kunna mäta area och ändra recept eller möjligen att bygga broar och rymdraketer.

• Å den andra sidan handlar matematiska kunskaper om något annat, större och mer svårgripbart, om att förstå, om att skapa ordning i kaos, om att tänka på ett visst sätt, att vara kritisk och kreativ.

Det är svårt att argumentera för att alla behöver 10 år för att lära sig mäta area. Men argumentationen involverar alltid också det andra, som är något mer än det rent praktiska. Man talar om sådant som matematiskt tänkande, matematisk problemlösningsförmåga, logiskt tänkande, kritiskt tänkande, matematisk kreativitet och många andra liknande saker. Vad det handlar om är, kan man säga, en sorts omvärldsuppfattning, ett sätt att uppfatta världen, där matematiken fungerar som en resurs för att skapa ordning där det annars skulle ha varit rörigt. Den här sidan av de matematiska kunskaperna handlar om förmågan att förstå.

De som argumenterar för skolmatematiken talar ibland om förmågan att lyssna på argument, att diskutera på ett bra sätt, att fungera bra i det demokratiska samhället och sådant. Allt detta handlar om den andra, högre, mer svårgripbara sidan av de matematiska kunskaperna.

Den absoluta kärnan i den skolmatematiska doxan består i övertygelsen att dessa två bra saker – den väl avgränsade och enkla praktiska färdigheten och den svårgripbara matematiska omvärldsuppfattningen – inte kan skiljas från varandra. Man tänker sig att samma institutionaliserade praktik skall leda till båda dessa mål.

Idén att dessa två saker hänger ihop är inbyggd i själva idén om kunskaper i matematik. Det är därför det är viktigt, om man vill kritisera skolmatematiken, att ta sikte på själva denna idé. Från denna idé om kunskaper, följer den skolmatematiska praktiken som ett brev på posten. Det går inte att kritisera den skolmatematiska praktiken på ett effektivt sätt, utan att samtidigt (eller kanske först) ta sig an den idé om kunskaper i matematik som skolmatematiken hänger ihop med.

Vad händer om man bryter sönder de matematiska kunskaperna i sina beståndsdelar? Man kan till exempel fråga sig vad man behöver kunna för att göra om ett kakrecept som är gjort för 40 kakor till ett som istället ger 60 kakor. Hur skulle en skolmatematik se ut som bara tog sikte på detta, och en mängd andra lika väl avgränsade problem?

Och om man istället fokuserar på den andra sidan av de matematiska kunskaperna, förmågan att lyssna på argument, att tänka kritiskt, att fungera bra i det demokratiska samhället utan att få några praktiskt användbara färdigheter – hur skulle en sådan skolmatematik se ut?

Skolmatematikens kosmos

Skolmatematikens doxa hänger ihop med en mer övergripande världsbild. Jag kommer att här att tala om denna världsbild med hjälp av ordet kosmologi. Med det menar jag just en idé om hur världen hänger samman och vad den består av.

Det kan tyckas långsökt att gå från en diskussion om skolmatematik till en diskussion av ”hur världen hänger samman”. Var är poängen med det? Poängen är samma som när det gällde att gå från en diskussion av skolmatematiken till den doxa som sätter ramarna för hur man kan prata och tänka kring den. Jag menar: om man har en viss idé om hur man lär sig matematik, och en viss idé om vad det innebär att kunna matematik – då kan utrymmet vara ganska litet att föreställa sig alternativ till skolmatematiken så som den ser ut idag.

Det jag vill att vi skall göra nu är att ta ytterligare ett steg från doxan, till den kosmologi som doxan är en del av. Skolmatematiken är nämligen sådan att den är väldigt mycket sammanvävd med en hel världsbild, på ett sådant sätt att den framstår som helt oundviklig, om man är ”inne” i denna världsbild.

Sen är det såklart också så att jag inte vill att man behöver reda ut hur hela världen hänger ihop, bara för att man skall kunna reflektera kring skolmatematiken. Poängen är bara den här: att det finns en idé, som hänger samman med skolmatematiken, om att matematik är något som finns i världen på två olika sätt. Dels finns matematiken ”där ute”, i världen, till exempel i form av naturlagar. Dels finns den ”i oss människor”, i form av kunskaper. Det viktiga är att matematiken antas vara något som har denna speciella egenskap att kunna finnas på dessa två olika sätt.

Är detta hårklyveri? Nej, det är faktiskt väldigt viktigt, för det hänger ihop med idén om de två olika men sammanvävda målen, och även med idén om åskådning och självverksamhet. I själva verket är det många saker här som hänger ihop på ett ganska intrikat sätt – utan att någon kanske egentligen har överblick över hur dessa saker hänger ihop: åskådning, självverksamhet, praktisk nytta, omvärldsuppfattning, obligatoriet och att det tar så väldigt lång tid att lära sig matematik.

Den idé som jag vill fokusera på är att matematiken på ett unikt sätt så att säga binder samman oss människor med världen. Denna idé är flera hundra år gammal. Betydligt äldre än skolmatematiken faktiskt.

Det finns en mängd personer som artikulerat denna idé på olika sätt. En av dessa är matematikdidaktikern Ole Skovsmose. Han förespråkar vad han kallar kritisk skolmatematik. Han vill ändra på skolmatematiken; göra den till något som hjälper människor, snarare än – som nu – stjälper dom.

Problemet med Skovsmoses förändringsförslag är att det utgår precis exakt från den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. Konsekvensen av detta är att hans kritik blir av ett särskilt slag som jag längre fram i den här texten kommer att kalla ”standardkritik”. Mer om det strax alltså.

Skovsmose tänker sig att matematiken spelar en väldigt viktig roll för hur samhället fungerar. Han har myntat uttrycken ”matematikens formatterande kraft” och ”frusen matematik”. Hans idé är att matematiskt tänkande så att säga ligger bakom till exempel teknik (som datorer och bilar) som spelar en viktig roll i samhället. Eftersom matematik används när samhället har skapats är matematiken så att säga inbyggd i samhället självt. Denna tanke är väldigt lik hur man kan tänka sig att matematiken är inbyggd i naturen, i form av naturlagar. Skovsmose har skapat en social variant av denna bild av naturen. Han har matematiserat samhället; gjort det i sig självt matematiskt.

Sedan, i nästa steg, säger han att det enda sättet att förstå sig på samhället, är genom att att se denna matematik och det kan man bara om man har kunskaper i matematik.

Skovsmose är väldigt ifrågasättande och kritisk, och han är ett bra exempel på hur det kan gå om man inte går till botten med skolmatematikens doxa och den kosmologi som jag skriver om här. Vad som händer är att konsekvensen av hans kritik, trots att han är aldrig så kritisk, faktiskt blir att ge ett starkt stöd till skolmatematiken. För enligt Skovsmose är det bara genom skolmatematiken som man kan få de där matematiska kunskaperna alla behöver. Skovsmose vill att skolmatematiken skall reformeras. Han är inte motståndare till det tidskrävande obligatoriet.

Ungefär detsamma gäller Mogens Niss, en annan ganska känd forskare i matematikdidaktik. Han har myntat uttrycket ”matematikens relevansparadox”. Med detta menar han att de som argumenterar för skolmatematik har ett stort problem eftersom bara de som har matematiska kunskaper ser och förstår hur viktig matematiken är. Faktiskt säger Skovsmose ungefär samma sak: att det bara är genom att kunna matematik som man kan se och förstå att samhället är ”frusen matematik”. Båda är eniga i samma slutsats: att alla behöver lära sig matematik.

Man kan säga att Ole Skovsmose och Mogens Niss artikulerar den kosmologi som skolmatematiken hänger ihop med. De preciserar den, på olika sätt. Båda två menar att skolmatematiken måste reformeras. Samtidigt är de båda två övertygade om att skolmatematiken behövs. De ifrågasätter inte den doxa som får själva idén med ett tidskrävande obligatorium att framstå som vettig och nödvändig. Det tror att kunskaper i matematik är något otroligt viktigt som bara skolmatematik kan leda till.

Sen är det tyvärr lite mer krångligt än så.

En viktig pusselbit för att förstå detta med skolmatematik är nämligen att många av de som argumenterar för skolmatematiken på ett lite märkligt sätt också argumenterar mot den. Det människor brukar argumentera för är faktiskt inte skolmatematiken, utan snarare matematiken och vikten av att alla får de där dubbla matematiska kunskaperna, som både är praktiskt nyttiga och skapar – som Skovsmose och Niss uttrycker det – en förståelse för hur verkligheten egentligen är.

Den skolmatematiska praktiken är en ritual

Skovmose och Niss pekar på en viss möjlighet till tänkande och förståelse som de tänker sig att matematiken öppnar för. Skolmatematiken har emellertid också en annan sida. En mörkare sida, kan man säga.

Skolmatematiken liknar i mångt och mycket en ritual.

Det här kan man säga i allmänhet, och förmodligen få medhåll även från många av skolmatematikens försvarare. Jag skall vara lite mer exakt, och precisera man kan mena med ordet ritual. En känd antropolog som heter Roy Rappaport definierar en ritual på följande sätt:

– Det är en praktik där det inte är människorna som deltar i den som bestämmer vad de skall göra. Vad de skall göra är, till en viss grad, istället förutbestämt på något sätt.

– Det är en praktik som sker på en särskild plats, som följer ett särskilt schema, som är noga reglerad och ofta på ett eller annat sätt är ganska repetitiv.

– Det är en praktik som är stabil i tid och rum, det vill säga: det görs på ungefär samma sätt på många olika platser och på ungefär samma sätt för några år sedan som idag.

Skolmatematiken passar väldigt bra in på denna definition.

Skolor och klassrum är en väldigt speciell miljö som inte liknar så mycket annat i samhället. Under lektionerna är det varken eleverna eller lärarna som bestämmer vad som skall ske: i stor utsträckning är det förutbestämt av läromedel, kursplaner, nationella prov med mera. Elevens väg genom skolmatematiken följer en ganska noga reglerad plan. Vad eleven gör är noga övervakat och reglerat (och det gäller för den delen ganska mycket även läraren). Skolmatematiken är repetetiv, den är standariserad och den förändras inte särskilt mycket över tid.

Det är inte särskilt troligt att någon som försvarar skolmatematiken skulle ifrågasätta detta.

Det intressanta och komplicerade är nu att skolmatematikens doxa, som säger hur skolmatematiken bör vara, är ganska förenlig med skolmatematiken som ritual. Samtidigt klingar ordet ritual inte särskilt bra. Vill de som försvarar skolmatematiken ha en skolmatematisk ritual? Nej, det vill dom inte. Eller: om de vill ha en ritual så vill de med största sannolikhet ha en ritual som är rolig och meningsfull. Och så som skolmatematien ser ut idag är den, verkar det som – och detta kan ju du som elev vittna om – tvärtom ofta tråkig och till synes meningslös.

När man kritiserar skolmatematiken är det väldig viktigt att ha en bra förståelse för relationen mellan de som försvarar skolmatematiken och det faktum att skolmatematiken i mångt och mycket är en ritual. Jag skall nu försöka förklara hur denna relation ser ut.

Ambivalens och reformlust

Något man nästan alltid vid någon punkt möter när man kritiserar skolmatematiken är att den man argumenterar med börjar hålla med. Den som till att börja med tog skolmatematiken i försvar håller nu med om att skolmatematiken faktiskt ofta är trist och meningslös. Är man då överens?

Nej, den avgörande skillnaden ligger i vad man tänker sig måste göras. Om man utgår från den kosmologi som passar skolmatematiken, och skolmatematikens doxa, så framstår det som uppenbart att skolmatematiken behövs. Inte nog med det – det framstår också som självklart att man bara kan lära sig matematik genom åskådning och självverksamhet, och så vidare. Detta är något helt annat än den slutsats man kan komma till om man går lite djupare, och ifrågasätter även dessa utgångspunkter.

Det viktiga att förstå här är att nästan alla som håller på med skolmatematik har ett ambivalent förhållande till skolmatematiken sådan den faktiskt är. Å ena sidan är det ju skolmatematiken man försvarar. Å andra sidan tycker man inte om den. Det man tycker om är snarare matematiken.

Det är inte minst på grund av denna förskjutning, från skolmatematiken till matematiken, som det blir väldigt viktigt att förstå skolmatematikens doxa. Detta eftersom det är denna doxa som gör att man faktiskt kan försvara skolmatematiken genom att försvara matematiken. Doxan knyter ihop de två. Poängen är att man försvarar en viss idé om matematiken som gör skolmatematiken nödvändig.

Oavsett hur det ser ut när diskussionen börjar kan du som kritiker, om du sköter dig bra, räkna med att den som försvarar skolmatematiken börjar tala om nödvändigheten av att ändra på skolmatematiken. Hon vill inte längre försvara den så som den faktiskt är, utan vill istället tala om något annat, som inte finns, men som skall finnas i framtiden.

Resonemanget är följande: skolmatematiken är kanske trist och meningslös idag, du kanske varit med om något jättetråkigt, kanske får till och med de allra flesta snarare ångest en kunskaper av skolmatematiken. – Men! Det kommer alltid ett ”men” och här fungerar verkligen detta ord som ett suddgummi. ”Men” skall få dessa erkännanden, dessa fakta om skolmatematiken kunde varit helt förödande för dess rykte, att framstå som en ovidkommande detalj.

I ljuset av detta ”men” blir alla argument, alla fakta om skolmatematiken, allt lidande den orsakar, meningslösa. Skolmatematiken kan vara hur idiotiskt meningslöst plågsamt ångestskapande som helst. Det spelar ingen roll.

Det viktiga är istället matematiken, att man behöver ”kunskaper i matematik”, att det är roligt att lära sig matematik, att den behövs för tillväxten och demokratin. Matematiken har nu plötsligt ingenting alls att göra med skolmatematiken. Å ena sidan är skolmatematiken nödvändig för att ge alla de kunskaper i matematik de behöver. Å andra sidan har skolmatematiken, i den mån den är meningslös och skapar ångest, ingenting med matematiken att göra.

Vilken kritiker som helst kan bli förvirrad över denna vändning. Precis i denna punkt i diskussionen är det som svårast att hålla tungan rätt i mun.

Det som hänt är att den som försvarar skolmatematiken flyttat fokus från skolmatematiken sådan den är, till skolmatematiken så som hon önskar att den vore. – Jo, kan man svara, det är ju en fin idé du har där, om en obligatorisk, tidskrävande institutionaliserad praktik men den finns ju inte!

– Men vi håller på att ändra allt precis just nu! Det där du talar om, det tråkiga och meningslösa, vi är så medvetna om detta, och det är så olyckligt. Stackars dig, och stackars alla andra som drabbast av detta. Dumma skolmatematik! Men idag, precis idag, eller kanske imorgon, så skall allt bli helt annorlunda. Skolmatematikens försvarare är bra på att lova, eller åtminstone på att hoppas.

De är också bra på att behöva – även om det är en sida som du som elev inte ser så mycket av. För att kunna ändra på allting så behöver de resurser. Men det är en annan historia.

En helt avgörande konsekvens av försvararens förskjutning av fokus, från skolmatematiken sådan den är, till en idé om hur skolmatematiken skulle kunna vara, är att argument som bara handlar om själva skolmatematiken inte fungerar för att kritisera den.

I själva verket ägnar sig skolmatematikens försvarare själva väldigt mycket åt precis sådan kritik, som handlar om hur skolmatematiken är, och jämför den med hur de tänker sig att den skulle kunna vara. Jag har hittat på uttrycket ”standardkritik” för att prata om detta. Detta är det vanligaste sättet att kritisera skolmatematiken.

Om man vill kritisera skolmatematiken ordentligt måste man akta sig för att hamna i ”standardkritik”. Den leder ingen vart. Dess kännetecken är att den utgår från skolmatematikens doxa.

Det är på grund av denna fälla som jag ägnat så mycket utrymme i den här texten åt just skolmatematikens doxa.

Om man skall kritisera skolmatematiken ordentligt, på ett sätt som gör att den kanske förändras eller försvinner, måste man ta sikte på de outtalade utgångspunkter som får själva idén med skolmatematiken att framstå som vettig.

Jag skall nu ta upp lite forskning, inom olika områden, som pekar mot att dessa outtalade utgångspunkter är felaktiga, och att skolmatematikens inte bara inte fungerar, utan inte ens kan fungera.

Skolmatematiken är i detta avseende som åderlåtning (dvs låta människor blöda under kontrollerade former för att på så sätt bota dom från olika sjukdomar). Åderlåtning har aldrig haft någon positiv effekt. Det har aldrig hjälpt människor att bli friska. Däremot så har många som blivit åderlåtna som blivit friska ändå. Och man har också kommit på, när man undersökt åderlåtandet historiskt, att olika saker som hängde samman med åderlåtandet, miljön som det skedde i och så vidare, faktiskt hjälpte en del att bli friska. Själva åderlåtandet däremot, och detta är ju självklart för oss idag, stjälpte snarare än hjälpte.

Tänk nu att en åderlåtande läkare konfronterades med statistik som visade att åderlåtning statistiskt sätt leder till att människor dör oftare och fortare, snarare än tvärt om. (Faktum är att denna konfrontation faktiskt ägt rum!) Om han skulle göra som skolmatematikens försvarare skulle han hävda att åderlåtningen inte skett på rätt sätt, att det är en gammal sorts traditionell åderlåtning som man ägnar sig åt och att han är i full färd med att reformera den. I framtiden, minsann, skulle han säga, kommer åderlåtning att bota människor, istället för att, som nu, döda dom. Och – om konsekvenserna av detta försvarstal skulle vara de samma som de är för skolmatematiken – sedan skulle den reformerande läkaren få pengar för att kunna trycka upp en informationsbroschyr med riktlinjer för ”modern” åderlåtning. Samtidigt som åderlåtandet fick pågå, obehindrat, som vanligt.

Skolmatematik är som åderlåtning. Det är en skadlig praktik baserad på felaktiga idéer om hur man lär sig sådant man har nytta av och vad det innebär att ha kunskaper över huvud taget. Jag skall nu gå in lite mer i detalj på vad det är som är fel med skolmatematikens doxa.

Frågan om transfer

En viktig förutsättning för att skolmatematiken skall framstå som förnuftig är att man kan lära sig något på en plats som man sedan har nytta av på en annan plats. Det måste vara möjligt att lära sig något i ett klassrum som man sedan har nytta av på andra platser, till exempel hemma i köket eller på en arbetsplats.

Det är många som funderat kring om detta är möjligt. Man använder ordet transfer för att prata om det här. Transfer betyder att man kan ”flytta kunskap” mellan olika platser.

Skolmatematiken bygger på att man kan flytta ”kunskaper i matematik” mellan olika platser. Den utgår från att man kan ”få” kunskaper i skolan som man sedan kan ”använda” på andra platser än i skolan.

Jag sätter citationstecken runt en del ord här. ”Få” och ”kunskaper i matematik” och ”använda”. Det beror på att de här frågorna är svåra att prata om. Det beror i sin tur på problemet med att artikulera som jag skrivit lite om tidigare. Detta att sätta ord på vad människor utgår från och uppfattar som uppenbart. Problemet är att människor inte känner igen sig i de ord man använder, och detta oberoende av vilka ord man använder.

När du diskuterar transfer med någon som tar matematiken i försvar kan du räkna med problem. Det bästa att göra i en sådan situation är kanske att fokusera på kärnfrågan: att skolmatematiken äger rum i skola och att den på något sätt skall vara till nytta utanför skolan.

Ett ord som har använts väldigt mycket för att prata om hur detta med transfer fungerar är begrepp. Man har talat om matematiska begrepp som det som man skall bli resultatet av att man deltagit i skolmatematikens tidskrävande obligatorium. Dessa begrepp skall formas eller skapas eller bildas eller upptäckas. Det finns många olika sätt att prata om vad det är man tänker sig skall hända i skolan.

Det är ganska självklart att vissa sorters kunskaper kan flyttas mellan olika platser. Till exempel är det ju uppenbarligen så med saker man lärt sig utantill. Om du vet att 7*8=56 så vet du ju det oberoende av var du befinner dig.

En annan sak som också är ganska självklar är att om du lärt dig göra något sådant som att äta med kniv och gaffel så påverkas inte denna förmåga särskilt mycket av var någonstans det är du äter. Att cykla är ett annat bra exempel på sådan kunskap. Kan du cykla i Sverige så kan du också cykla i Norge.

Men hur är det nu med skolmatematiken?

Är den som i det första exemplet? Skall man sätta fingret på något typiskt för detta exempel så är det att det inte spelar någon roll hur man lärt sig att 7*8=56. Detta vetande är inte knutet till någon särskild lärandepraktik. Det finns inget djup i sådan kunskap. Den är platt. Antingen vet man vad 7*8 är eller så vet man det inte. Och det är ganska enkelt att säga när man har nytta av denna kunskap. Nämligen när frågan uppstår om vad 7*8 blir.

Det som skall bli resultatet av deltagandet i skolmatematikens tidskrävande obligatorium är inte någon sådan platt utantillkunskap. Om det vore så, skulle inte skolmatematiken behöva ta så otroligt lång tid. Det skulle också vara svårt att argumentera för obligatoriet – för hur hemskt är det att inte veta vad 7*8 är? Man överlever. Och om man inte gör det så är det svårt att påstå att det skulle vara särskilt märkvärdigt att lära dig det.

Det är tvärtom väldigt viktigt för skolmatematiken att den är en särskild praktik, en praktik där något komplicerat händer som man kallar formandet av matematiska kunskaper. Kärt barn har många namn. Ibland tar man i och talar om kunskapsbildningsprocessen.

Detta fokus på praktiken gör att det matematiska kunnandet tycks ha mer likheter med att kunna cykla än att kunna gångertabellen. Att lära sig cykla är uppenbarligen en praktik. Man kan inte lära sig cykla genom att någon säger till en hur man gör. Man kan inte lära sig det från en bok. Man måste ha en cykel och sedan öva sig.

Fast det som skiljer kunskaper i matematik både från att cykla och att spela schack är att man tänker sig att matematiska kunskaper spelar roll på ett mycket mer allmänt sätt. Att kunna cykla har man bara nytta av när man skall cykla. När har man nytta av sina matematiska kunskaper?

Det hör till skolmatematikens kosmologi att livet i det ”moderna samhället” kräver kunskaper i matematik jätteofta. Det är som om det jätteofta uppstod situationer där man behöver ”cykla någonstans” med sina matematiska kunskaper.

Jag tror att chansen är ganska stor att den som du argumenterar med köper den här liknelsen. Det låter bra: att kunna matematik är som att kunna cykla.

Problemet är bara att ingen lyckats visa att matematiska kunskaper är på det här sättet.

Det finns en avgörande skillnad mellan att lära sig cykla eller lära sig spela schack, och å andra sidan att lära sig matematik. Cykla gör man på en cykel, och man har en cykel såväl när man lär sig cykla som när man sedan cyklar. Schack gör man på ett schackbräde. Man kan säga att de här sakerna, tingen, bidrar till att skapa en viss situation. En praktisk situation som är samma när man lär sig som när man ”använder”. Man gör samma sak. Lärandet och användandet är samma praktik.

Som jag skrivit om ovan så kan man beskriva den skolmatematiska praktiken som en ritual. Den skolmatematiska praktiken är väldigt speciell. Och enligt den skolmatematiska doxan så skall den också vara väldigt speciell. Den måste vara det för att kunskaper i matematik kan ta form. Här kommer vi igen tillbaka till den skolmatemtaiska kosmologin. Man tänker sig att matematik är något väldigt speciellt. Därför tänker man sig att detta att lära sig matematik också måste vara något väldigt speciellt.

Den situation där man lär sig matematik liknar inte alls de situationer där man skall ha nytta av sina matematiska kunskaper. Skolmatematikens doxa säger att matematiska kunskaper är på ett sådant sätt att detta inte spelar någon roll. Men det finns inga belägg för att det är på det sättet. Det finns inga belägg för att skolmatematik kan fungera, att det finns något sådant som kunskaper i matematik som beter sig på det sättet som de borde göra om världen verkligen var så som den skolmatematiska kosmologin säger att den är.

Man kan göra en vetenskapshistorisk parallell. Jag talade ovan om åderlåtning. Det kunde ha fungerat, men det fungerar inte. På samma sätt är det med skolmatematiken. Det låter bra, men nej: det fungerar inte. Själva idén bygger på en idé om hur världen är som är fel.

Istället är det så att det man lär sig när man deltar i skolmatematiken är väldigt knutet till just denna rituella praktik. Självklart är det många som blir bättre och bättre på något när de deltar i skolmatematiken. Man vad de blir bättre på är att prestera just där.

Om man skall läsa en bok om detta med transfer så skall man läsa antropologen Jean Laves Cognition in Practice från 1988.

När man diskuterar detta med transfer är det ganska troligt att den man diskuterar med faller tillbaka på det ”uppenbara”, det vill säga doxa. Det är då bra att veta att även det som verkar uppenbart kan vara fel. ”Är det inte bra att kunna matematik?”, ”Behöver inte alla lära sig matematik?” När man möter dessa ”självklarheter” så måste man försöka hålla kvar fokus på problemet kärna: det tidskrävande obligatoriet och allt det som får själva idén med ett sådant tidskrävande obligatorium att framstå som förnuftigt. Kom ihåg att alla blir tvingade. Och det de blir tvingade till är inte ”att lära sig matematik” utan att delta i en väldigt speciel praktik. En praktik som kan beskrivas som en ritual.

Kom ihåg jämförelserna med ekonomi eller medicin. Det är också svåra saker, men det finns ingen skolekonomi eller skolmedicin i samma bemärkelse som när det gäller skolmatematik.

Jean Lave är antropolog. Hon är en av många antropologer som funderat över och undersökt detta med vad människor gör och vad det innebär att människor kan något. Hon är expert på detta. Hon säger att detta med transfer inte fungerar så som det måste fungera som skolmatematik skall vara en förnuftig idé. En bra fråga till den du diskuterar med är vad han eller hon baserar sina argument på. Är de baserade på forskning? Sociologisk forskning? Antropologisk forskning? Historisk?

Det är ganska troligt att den du argumenterar snarare utgår från det som är ”uppenbart”.

Möjligen utgår han eller hon från matematikdidaktiken. Se då till att precisera frågan. Fråga efter undersökningar av transfer. Det finns ytterst få sådana undersökningar och om det är något resultaten av dessa undersökningar säger, så är det att skolmatematiken inte fungerar.

Nätverk, standardisering och samhällets reproduktion

Om kunskaper i matematik inte är något generellt verktyg som man kan skapa sig i skolan och sedan använda utanför skolan, vad är det då? Det verkar ju som om kunskaper i matematik är något väldigt användbart. Hela skolmatematiken utgår ju från att de är något man kan forma sig eller bilda sig, eller hur man nu uttrycker det.

Ett alternativ till detta sätt att förstå saken är att tänka att det vi pratar om som ”kunskaper i matematik” är knutet till en viss sorts mätande praktiker. Nästan alltid när man talar om kunskaper i matematik som syftar man till syvende och sist på resultat på matteprov. Det kan vara ”nationella” prov eller prov i internationella undersökningar som PISA eller TIMSS. Eller så handlar det om betyg. Man säger att eleverna inte fått ”tillräckliga kunskaper” och då menar man att de inte fått godkänt betyg. Och det beror såklart i sin tur, igen, på något provresultat.

Det man måste göra nu, för att kunna krisiera skolmatematiken ordentligt, är att frigöra sig från tanken att dessa prov mäter något. Det är ju nämligen så man tänker sig det hela utifrån skolmatematiken doxa. Det finns något där: kunskaperna. Och dessa finns det mer eller mindre av. De kan vara på ett eller annat sätt.

Istället för att tänka att proven är som mätinstrument, som mikrofoner som mäter hur starkt något låter eller som vågar som väger hur tungt något är, skall man tänka att de är som delar i en fabrik, som skapar något. Man skall tänka sig att proven hänger ihop med ”lärandepraktiken”. De är båda delar av samma fabrik.

Skillnaden är väldigt viktig.

Det något som man enligt skolmatematiken doxa tänker sig att proven mäter, är så att säga gjort av matematik. Det har en form, eller hur man nu skall uttrycka det, som är given, som kommer från matematiken. Det är denna form som ger kunskaperna alla sina fantastiska egenskaper, som sin dubbelhet och sin flyttbarhet. Matematiken ger formen, skolmatematiken fyller på med innehåll.

Alternativet är att tänka sig att alltihopa beror på skolmatematiken själv. Det som händer är att eleverna lär sig spela ett spel, eller leka en lek. De har övat sig på en viss sorts problem, som man kallar ”matematik”. De övar sig på lektionerna och allteftersom de blir bättre så säger man att de får ”mer kunskaper”. Så gör man ett prov. Ett prov som ganska mycket liknar övandet. Och så får man ett kvitto. Sen kallar man detta ”kunskaper i matematik”.

Och det som händer när man anväder ordet matematik är att denna egenskap hos eleverna, deras förmåga att spela skolmatematikens spel, kopplas loss från detta spelande, och kopplas på till matematiken. Tack vare skolmatematikens kosmologi knyts förmågan ihop med naturen, samhället, livet och universum.

Och då framstår det såklart som väldigt viktigt hur ”mycket man kan”.

Men om man tänker att det som mäts är förmågan att spela att säreget spel. Då framstår det inte alls som så viktigt.

Eller?

Jo, det är ju viktigt, för det spelar roll om man får bra eller dåliga betyg.

Men detta beror på hur samhället fungerar. Hur man valt att det skall fungera, eller så som det blivit – kanske utan att någon egentligen haft kontrollen över hur.

Det man skall komma ihåg, när man kritiserar, är att det är betygen som spelar roll, resultaten på vissa mätningar. Man kallar dessa mätresultat för ”kunskaper i matematik”. Men vad det i grund och botten handlar om är förmågan att spela ett spel.

Denna förmåga är viktig i samhället, men det beror på att samhället är ordnat på ett sånt sätt att den gjorts viktig, genom den roll som betyg i matematik spelar i olika sammanhang.

Kom ihåg att detta inte har något att göra med huruvida matematiker är viktiga för samhället, eller ingenjörer, eller forskare. Man säger att de ”använder matematik”, och det är inte direkt något fel i det. Vad de inte använder är förmågan att ”spela skolmatematik”. Kanske var matematikerna och ingenjörerna en gång duktiga på skolmatematik! Troligtvis var de det, för annars skulle de väl inte kunnat ta sig till dessa yrken. Men de använder inte denna förmåga i sin yrkesutövning.

Slutsats

Det finns mycket mer att säga om skolmatematiken. Till exempel om dess historia. Men det får räcka här.

Har jag hjälpt någon? Det återstår att se. Jag har försökt skriva enkelt men de idéer jag försökt förklara är svåra. Kanske låter det hela bara konstigt. Kanske vill du som läser detta mycket hellre stanna i standardkritikens klagan över hur bra skolmatematiken skulle kunna vara om den bara gjorde matematiken rättvisa.

Kanske är du som läser detta en av skolmatematikens försvarare, som hittat kryphål och fel i texten som låtit dig vila i din tro.

Skolmatematiken är djupt rotad i samhället och i det sunda förnuftet. Genom att den är ett tidskrävande obligatorium och genom den roll betyg i matematik spelar så är den en realitet. Den är en del av verkligheten. Man har den rakt framför ögonen. Den är uppenbar.

Att se den på ett annat sätt, att se den som något annat, kräver oundvikligen ett stort arbete.